Construcción de figuras básicas

Dibujo para el Diseño · Licenciatura en Diseño Gráfico · 12 oct 2026

1. Introducción

Construir una figura no es dibujarla a ojo: es levantarla a partir de reglas geométricas que garantizan proporción, simetría y exactitud. Todo lo que un diseñador traza después —un logotipo, un pictograma, una retícula editorial, una letra— descansa sobre tres figuras madre: el cuadrado, el triángulo y el círculo.

En diseño gráfico esto importa por tres razones:

• Precisión: una marca se reproduce en una tarjeta de 9 cm y en un espectacular de 12 m. Si su geometría no está construida, los errores se multiplican con la escala.
• Coherencia visual: las formas construidas comparten radios, ángulos y módulos, y por eso se perciben como una familia.
• Pensamiento estructural: quien sabe construir entiende por qué una forma funciona, no solo cómo se ve. Eso es lo que separa al diseñador del operador de software.

Aunque hoy se trabaje en Illustrator o Figma, las herramientas digitales repiten exactamente estos procedimientos: la herramienta de polígono, las guías inteligentes y la alineación son compás y escuadra automatizados. Dominarlos a mano es entender lo que el programa hace por ti.

Objetivos de aprendizaje

Al terminar el tema, el estudiante será capaz de:

1. Identificar y nombrar los elementos geométricos fundamentales (punto, línea, ángulo, plano).
2. Ejecutar con compás y escuadras los trazos auxiliares básicos: perpendiculares, paralelas, mediatriz y bisectriz.
3. Construir con exactitud triángulos, cuadriláteros, círculos y polígonos regulares a partir de un dato dado (lado o radio).
4. Trazar curvas compuestas: óvalo, ovoide y espiral.
5. Encajar volumetrías básicas (cubo, cilindro, cono, esfera) a mano alzada.
6. Aplicar estas construcciones a problemas reales de diseño: símbolos, pictogramas y retículas.

2. Materiales y herramientas

La precisión de una construcción depende más del estado de las herramientas que del talento. Un compás flojo o una punta roma arruinan cualquier trazo.

Herramienta	Especificación recomendada	Uso principal
Lápiz de grafito duro	2H o H	Líneas auxiliares y de construcción, muy tenues
Lápiz medio	HB	Líneas definitivas
Lápiz blando	2B–4B	Encaje a mano alzada y sombreado
Portaminas	0.5 mm y 0.7 mm, minas 2H y HB	Trazo de grosor constante
Compás	De precisión, con tornillo central y alargador	Circunferencias, arcos, transporte de medidas
Escuadra	45°, 25–30 cm, sin bisel	Perpendiculares y ángulos de 45°
Cartabón	30°/60°, 25–30 cm	Ángulos de 30°, 60° y combinaciones
Regla graduada	30–50 cm, transparente	Medir y trazar rectas largas
Transportador	180° o 360°	Medir y comprobar ángulos
Goma	Blanca de vinil y goma moldeable	Borrar auxiliares sin dañar el papel
Lija para grafito	Grano fino	Afilar minas y la punta del compás
Papel	Bond 90–120 g o Fabriano/Canson, carta o doble carta	Soporte de láminas
Rotuladores técnicos	0.1, 0.3, 0.5 mm	Entintado final

Combinaciones de escuadra y cartabón

Apoyando una escuadra sobre la otra se obtienen sin transportador los ángulos de 15°, 30°, 45°, 60°, 75°, 90°, 105°, 120°, 135° y 150°. Por ejemplo: 45° + 30° = 75°; 45° − 30° = 15°; 90° + 30° = 120°.

Jerarquía de línea

Toda lámina de construcción distingue al menos tres valores de línea:

1. Línea auxiliar o de construcción: fina y tenue (2H). Se deja visible: es la prueba del procedimiento.
2. Línea de dato: el elemento de partida (el lado, el radio), media.
3. Línea de resultado: la figura final, firme y oscura (HB o tinta 0.5).

3. Conceptos geométricos fundamentales

Antes de construir hay que nombrar con precisión. Este vocabulario es el que se usa en el aula, en la revisión de láminas y en cualquier manual de identidad.

Elementos primarios

• Punto: posición sin dimensión. Se nombra con mayúsculas (A, B, O). En diseño, es el origen de toda forma y el elemento visual más pequeño.
• Línea recta: sucesión infinita de puntos en una misma dirección. Se nombra con minúsculas (r, s).
• Semirrecta: recta con origen pero sin final.
• Segmento: porción de recta entre dos puntos (AB). Es la única que se puede medir.
• Plano: superficie de dos dimensiones; en la práctica, la hoja.

Posiciones relativas de rectas

• Paralelas: nunca se cortan; mantienen la misma distancia.
• Secantes: se cortan en un punto.
• Perpendiculares: secantes que forman cuatro ángulos de 90°.
• Oblicuas: secantes que no forman 90°.

Ángulos

Un ángulo es la abertura entre dos semirrectas que comparten un vértice.

Tipo	Medida
Agudo	Menor de 90°
Recto	90°
Obtuso	Entre 90° y 180°
Llano	180°
Cóncavo o reflejo	Entre 180° y 360°
Completo	360°

Relaciones útiles: dos ángulos complementarios suman 90°; dos suplementarios suman 180°.

Lugares geométricos

Un lugar geométrico es el conjunto de puntos que cumplen una misma condición. Son la base de casi todas las construcciones:

• Circunferencia: puntos a igual distancia de un centro.
• Mediatriz: recta perpendicular a un segmento por su punto medio; cada punto de ella está a igual distancia de los dos extremos.
• Bisectriz: recta que divide un ángulo en dos iguales; cada punto de ella está a igual distancia de los dos lados.

Polígonos

Un polígono es una figura plana cerrada por segmentos. Es regular si todos sus lados y ángulos son iguales. Sus partes: lados, vértices, ángulos interiores, diagonales, centro, radio (centro a vértice) y apotema (centro al punto medio de un lado).

Suma de ángulos interiores de un polígono de n lados:

S = (n – 2) \times 180^\circ

Ángulo central de un polígono regular: 360° ÷ n. Para el hexágono, 60°; para el pentágono, 72°; para el octógono, 45°.

4. Trazos auxiliares paso a paso

Estos procedimientos se usan dentro de todas las construcciones posteriores. Deben salir de memoria antes de pasar a figuras.

4.1 Mediatriz de un segmento (y su punto medio)

Dato: segmento AB.

1. Con centro en A y una abertura mayor que la mitad de AB, traza un arco por arriba y otro por abajo del segmento.
2. Sin cambiar la abertura, repite con centro en B. Los arcos se cortan en dos puntos: C (arriba) y D (abajo).
3. Une C y D. Esa recta es la mediatriz; donde corta a AB está el punto medio M.

4.2 Perpendicular por un punto de la recta

Dato: recta r y punto P sobre ella.

1. Con centro en P y cualquier radio, marca dos puntos sobre r, a izquierda y derecha: A y B.
2. Traza la mediatriz de AB (4.1). Pasará por P y es la perpendicular buscada.

4.3 Perpendicular por un punto exterior

Dato: recta r y punto P fuera de ella.

1. Con centro en P, traza un arco que corte a r en dos puntos: A y B.
2. Traza la mediatriz de AB. Pasará por P.

4.4 Perpendicular en el extremo de un segmento

Dato: segmento AB; se requiere la perpendicular en B (muy usado para construir cuadrados).

1. Elige un punto O cualquiera fuera del segmento, por encima de B.
2. Con centro en O y radio OB, traza una circunferencia. Corta a la recta AB en un segundo punto C.
3. Traza la recta C–O y prolóngala hasta cortar la circunferencia en D.
4. Une B con D. BD es perpendicular a AB (todo ángulo inscrito en una semicircunferencia mide 90°).

4.5 Paralela por un punto exterior

Dato: recta r y punto P.

• Con escuadras (método de taller): apoya un borde de la escuadra en r y el cartabón contra ella; desliza la escuadra sobre el cartabón hasta P y traza.
• Con compás: con centro en P, traza un arco que corte a r en A. Con el mismo radio y centro en A, traza un arco que pase por P y corte a r en B. Con centro en A y radio BP, corta el primer arco en Q. La recta PQ es paralela a r.

4.6 Bisectriz de un ángulo

Dato: ángulo con vértice V.

1. Con centro en V y cualquier radio, traza un arco que corte ambos lados en A y B.
2. Con centro en A y luego en B, y el mismo radio, traza dos arcos que se corten en C.
3. Une V con C. VC es la bisectriz.

4.7 División de un segmento en partes iguales (Teorema de Tales)

Dato: segmento AB que se quiere dividir, por ejemplo, en 5 partes.

1. Desde A, traza una semirrecta auxiliar con cualquier inclinación.
2. Con el compás y una abertura cualquiera, marca sobre ella 5 divisiones iguales: 1, 2, 3, 4, 5.
3. Une el punto 5 con B.
4. Traza paralelas a 5–B por los puntos 4, 3, 2 y 1. Sus cortes con AB lo dividen en 5 partes exactas.

Este método es el fundamento de las retículas modulares: permite dividir cualquier formato en columnas o módulos sin depender de medidas en milímetros que no salen exactas.

4.8 Transporte de un ángulo

Para copiar un ángulo dado a otra posición: traza un arco de radio cualquiera sobre el original y el mismo arco desde el nuevo vértice; toma con el compás la cuerda del arco original y transpórtala sobre el nuevo. Une el vértice con ese punto.

5. Construcción del triángulo

El triángulo es el único polígono rígido: no se deforma si sus lados no cambian. Visualmente transmite dirección, tensión y estabilidad (apoyado en su base) o inestabilidad (apoyado en un vértice). Sus ángulos interiores siempre suman 180°.

Clasificación

Por sus lados	Característica	Por sus ángulos	Característica
Equilátero	3 lados iguales (ángulos de 60°)	Acutángulo	3 ángulos agudos
Isósceles	2 lados iguales	Rectángulo	1 ángulo de 90°
Escaleno	3 lados distintos	Obtusángulo	1 ángulo obtuso

Condición de existencia: cada lado debe ser menor que la suma de los otros dos. Con 3, 4 y 9 cm no hay triángulo posible.

5.1 Equilátero dado el lado

1. Traza el segmento AB igual al lado.
2. Con centro en A y radio AB, traza un arco hacia arriba.
3. Con centro en B y el mismo radio, traza otro arco. Se cortan en C.
4. Une A–C y B–C.

5.2 Isósceles dada la base y el lado igual

1. Traza la base AB.
2. Con centro en A y radio igual al lado, traza un arco; repite desde B. Se cortan en C.
3. Une los vértices.

Variante dada la base y la altura: traza la mediatriz de AB, lleva la altura sobre ella desde el punto medio y une ese punto con A y B.

5.3 Escaleno dados los tres lados

1. Traza el lado mayor como base AB.
2. Con centro en A y radio igual al segundo lado, traza un arco.
3. Con centro en B y radio igual al tercer lado, traza otro arco. Su corte es C.

5.4 Rectángulo dados los dos catetos

1. Traza el cateto AB.
2. Levanta una perpendicular en A (procedimiento 4.4).
3. Lleva sobre ella la medida del segundo cateto: punto C.
4. Une B con C (hipotenusa).

Regla de taller: un triángulo de lados 3, 4 y 5 (o cualquier múltiplo: 6, 8, 10) siempre tiene un ángulo recto. Sirve para comprobar escuadras.

5.5 Rectángulo dada la hipotenusa y un cateto

1. Traza la hipotenusa AB y su mediatriz para hallar el punto medio M.
2. Con centro en M y radio MA, traza una semicircunferencia.
3. Con centro en A y radio igual al cateto, corta la semicircunferencia en C.
4. Une A–C y C–B. El ángulo en C mide 90°.

Rectas notables del triángulo

Recta	Se traza desde	Punto donde se cortan	Utilidad
Mediatrices	Cada lado	Circuncentro	Centro de la circunferencia que pasa por los 3 vértices
Bisectrices	Cada ángulo	Incentro	Centro de la circunferencia inscrita, tangente a los 3 lados
Alturas	Cada vértice, perpendicular al lado opuesto	Ortocentro	Altura real de la figura
Medianas	Cada vértice al punto medio opuesto	Baricentro	Centro de gravedad visual

El baricentro es clave en diseño: es el punto donde un triángulo «parece» centrado. Un ícono de play centrado por su caja geométrica se ve corrido a la izquierda; centrado por su baricentro se ve correcto.

6. Cuadrado y rectángulo

El cuadrado es la figura de la estabilidad, el orden y la neutralidad; es el módulo base de casi toda retícula. El rectángulo es su versión con dirección: horizontal transmite calma, vertical transmite elevación. Todos los formatos de papel, pantallas y carteles son rectángulos, y su proporción no es arbitraria.

6.1 Cuadrado dado el lado

1. Traza el lado AB.
2. Levanta perpendiculares en A y en B (procedimiento 4.4).
3. Con centro en A y radio AB, marca D sobre la perpendicular de A; con centro en B, marca C sobre la de B.
4. Une D con C. Comprueba: las dos diagonales deben medir lo mismo y cortarse a 90°.

6.2 Cuadrado dada la diagonal

1. Traza la diagonal AC y su mediatriz; el corte es el centro O.
2. Con centro en O y radio OA, traza una circunferencia. Corta a la mediatriz en B y D.
3. Une A–B–C–D.

6.3 Cuadrado inscrito en una circunferencia

Traza dos diámetros perpendiculares; sus cuatro extremos son los vértices. Si además trazas las bisectrices de esos cuatro ángulos, obtienes los ocho vértices del octógono.

6.4 Rectángulo dados sus dos lados

1. Traza la base AB.
2. Levanta perpendiculares en A y B.
3. Lleva la altura sobre ambas: puntos D y C.
4. Une D–C. Comprueba que las diagonales sean iguales.

6.5 Rectángulo áureo (proporción 1 : 1.618)

La proporción áurea aparece en la naturaleza, en la arquitectura clásica y en numerosas marcas. Se construye a partir de un cuadrado:

1. Construye un cuadrado ABCD.
2. Halla el punto medio M del lado inferior AB.
3. Con centro en M y radio MC (de M a la esquina superior opuesta), traza un arco hasta cortar la prolongación de AB en E.
4. Levanta una perpendicular en E y prolonga el lado superior DC hasta cortarla en F.
5. AEFD es un rectángulo áureo. El rectángulo sobrante BEFC también lo es, y puede subdividirse infinitamente.

\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618

6.6 Rectángulo raíz de 2 (formato DIN A)

Es el rectángulo cuya proporción es 1 : 1.414. Su propiedad única: al doblarlo a la mitad se obtienen dos rectángulos con la misma proporción. Por eso un A3 doblado da dos A4 y un A4 da dos A5.

1. Construye un cuadrado ABCD.
2. Con centro en A y radio igual a la diagonal AC, traza un arco hasta la prolongación de AB: punto E.
3. Cierra el rectángulo con base AE y altura AD.

6.7 Serie de rectángulos dinámicos

Repitiendo el paso anterior (girando cada nueva diagonal sobre la base) se obtienen los rectángulos √3, √4 (dos cuadrados) y √5. Son la base de la composición con trazados reguladores, muy útil en diseño editorial y de carteles.

Rectángulo	Proporción	Uso frecuente
Cuadrado	1 : 1	Publicaciones en redes, álbumes, íconos
√2	1 : 1.414	Papel DIN A (A4, A3, carteles A2)
Áureo	1 : 1.618	Libros, tarjetas, composición de marca
√3	1 : 1.732	Formatos verticales esbeltos
16:9	1 : 1.778	Pantallas, video, presentaciones
√4	1 : 2	Banners, dos cuadrados unidos

7. El círculo, tangencias y enlaces

El círculo es la forma de la totalidad, el movimiento y la protección; no tiene dirección dominante. En diseño es la figura más usada para sellos, íconos de perfil, botones y símbolos de marca. Rigurosamente, la circunferencia es la línea y el círculo es la superficie que encierra.

Partes de la circunferencia

Elemento	Definición
Centro (O)	Punto equidistante de todos los puntos de la curva
Radio (r)	Segmento del centro a la circunferencia
Diámetro (d)	Cuerda que pasa por el centro; d = 2r
Cuerda	Segmento que une dos puntos de la circunferencia
Arco	Porción de circunferencia entre dos puntos
Flecha o sagita	Distancia del punto medio de una cuerda al arco
Recta secante	Corta la circunferencia en dos puntos
Recta tangente	La toca en un solo punto; siempre perpendicular al radio en ese punto
Sector circular	Superficie entre dos radios y un arco («rebanada de pastel»)
Segmento circular	Superficie entre una cuerda y su arco
Corona circular	Superficie entre dos circunferencias concéntricas (un anillo)

7.1 Encontrar el centro de una circunferencia o de un arco

1. Marca tres puntos cualesquiera sobre el arco: A, B y C.
2. Traza las mediatrices de AB y de BC.
3. Su corte es el centro O.

Mismo procedimiento para trazar la circunferencia que pasa por tres puntos dados.

7.2 Recta tangente en un punto de la circunferencia

1. Une el centro O con el punto P.
2. Traza la perpendicular a OP en P. Esa es la tangente.

7.3 Tangentes desde un punto exterior

1. Une el punto exterior P con el centro O y halla el punto medio M de OP.
2. Con centro en M y radio MO, traza una circunferencia. Corta a la original en T1 y T2.
3. P–T1 y P–T2 son las dos tangentes.

Principios de tangencia

Una tangencia es el contacto suave entre una recta y una curva, o entre dos curvas, sin quiebre. Dos reglas lo resuelven todo:

• El punto de tangencia entre una recta y un arco está en la perpendicular a la recta que pasa por el centro del arco.
• El punto de tangencia entre dos arcos está sobre la recta que une sus dos centros.

Si no se localiza el punto de tangencia antes de entintar, la unión se nota como un escalón o un engrosamiento. Es el error más común en logotipos dibujados a mano.

7.4 Enlace de dos rectas perpendiculares con un arco de radio dado

Es la esquina redondeada, presente en botones, íconos de apps y tarjetas.

1. Traza paralelas a cada recta, hacia el interior, a una distancia igual al radio r.
2. Su cruce es el centro O del arco.
3. Desde O baja perpendiculares a cada recta: son los puntos de tangencia T1 y T2.
4. Traza el arco de T1 a T2 con centro en O. Borra el vértice original.

El mismo método funciona para rectas que forman cualquier ángulo (agudo u obtuso).

7.5 Enlace de una recta con una circunferencia

Para unir una recta r con una circunferencia de centro O₁ y radio r₁ mediante un arco de radio R:

1. Traza una paralela a la recta a distancia R.
2. Con centro en O₁ traza una circunferencia auxiliar de radio r₁ + R (enlace exterior) o R − r₁ (enlace interior).
3. Su corte con la paralela es el centro del arco de enlace.
4. Localiza los puntos de tangencia con las dos reglas anteriores y traza el arco.

7.6 División de la circunferencia en partes iguales

• 2, 4 y 8 partes: diámetros perpendiculares y sus bisectrices.
• 3, 6 y 12 partes: el radio cabe exactamente 6 veces en la circunferencia. Llevando el radio con el compás sobre ella se obtienen 6 partes; alternando, 3; con bisectrices, 12.
• 5 y 10 partes: véase el pentágono (sección 8).

8. Polígonos regulares

Un polígono regular se construye de dos formas: inscrito en una circunferencia (dato: el radio) o a partir del lado (dato: la longitud del lado). En diseño son la base de sellos, insignias, estrellas, patrones y pictogramas.

Polígono	Lados	Ángulo central	Ángulo interior	Construcción
Triángulo equilátero	3	120°	60°	Exacta
Cuadrado	4	90°	90°	Exacta
Pentágono	5	72°	108°	Exacta
Hexágono	6	60°	120°	Exacta
Heptágono	7	≈ 51.43°	≈ 128.57°	Aproximada
Octógono	8	45°	135°	Exacta
Eneágono	9	40°	140°	Aproximada
Dodecágono	12	30°	150°	Exacta

8.1 Triángulo, hexágono y dodecágono inscritos

1. Traza la circunferencia de centro O y un diámetro vertical AB.
2. Con centro en A y el mismo radio de la circunferencia, traza un arco que la corte en dos puntos: 1 y 2.
3. Repite con centro en B: puntos 3 y 4.
4. Hexágono: une A, 1, 3, B, 4, 2 en orden.
5. Triángulo: une vértices alternos (B, 1, 2).
6. Dodecágono: traza las bisectrices de los ángulos centrales del hexágono.

Se deduce que el lado del hexágono regular es igual al radio de su circunferencia circunscrita.

8.2 Hexágono dado el lado

Como el lado es igual al radio, traza una circunferencia con radio igual al lado y procede como en 8.1.

8.3 Pentágono inscrito (método exacto)

1. Traza la circunferencia de centro O con dos diámetros perpendiculares: horizontal AB y vertical CD (C arriba).
2. Halla el punto medio M del radio OB.
3. Con centro en M y radio MC, traza un arco que corte el radio OA en E.
4. La distancia CE es el lado del pentágono.
5. Con esa abertura y empezando en C, marca sucesivamente los cinco vértices sobre la circunferencia y únelos.

Extras: la distancia OE es el lado del decágono inscrito. Uniendo vértices alternos del pentágono se obtiene la estrella de cinco puntas (pentagrama), cuyos segmentos guardan entre sí la proporción áurea.

8.4 Pentágono dado el lado

1. Traza el lado AB y levanta una perpendicular en B de igual longitud: BC = AB.
2. Halla el punto medio M de AB. Con centro en M y radio MC, traza un arco hasta la prolongación de AB: punto D. AD es la diagonal del pentágono.
3. Con centro en A y radio AD, y con centro en B y radio AB, traza arcos que se corten: vértice E.
4. Con centro en B y radio AD, y con centro en A y radio AB: vértice F.
5. Con centros en A y B y radio AD, los arcos se cortan en el vértice superior G.
6. Une A–B–E–G–F.

8.5 Octógono inscrito

1. Traza dos diámetros perpendiculares.
2. Traza las bisectrices de los cuatro ángulos rectos.
3. Los ocho cortes con la circunferencia son los vértices.

8.6 Octógono a partir de un cuadrado

1. Construye el cuadrado y traza sus diagonales; se cortan en O.
2. Con centro en cada esquina y radio igual a media diagonal, traza arcos que corten los dos lados adyacentes.
3. Los ocho cortes resultantes son los vértices del octógono. Es el método de la señal de «ALTO».

8.7 Heptágono inscrito (aproximado)

1. Traza el triángulo equilátero inscrito (8.1).
2. La mitad de su lado (la distancia del punto medio de un lado a un vértice) es, con muy buena aproximación, el lado del heptágono.
3. Transporta esa medida siete veces sobre la circunferencia.

8.8 Método general para cualquier número de lados (aproximado)

1. Traza la circunferencia y su diámetro vertical AB.
2. Divide AB en tantas partes iguales como lados se quieran (Teorema de Tales, 4.7).
3. Con centro en A y radio AB, y con centro en B y radio AB, traza dos arcos que se corten a un lado de la circunferencia en P.
4. Traza una recta desde P que pase por la segunda división del diámetro y prolóngala hasta cortar la circunferencia en C.
5. AC es el lado del polígono. Transpórtalo alrededor de la circunferencia.

Es aproximado: el error es mínimo hasta 9 lados, pero crece con más lados. Siempre debe verificarse que la última medida cierre en el punto de partida; si sobra o falta, se reparte la diferencia entre todos los lados.

9. Curvas compuestas: óvalo, ovoide y espiral

Estas curvas no se trazan de un solo giro de compás: se forman con varios arcos de distinto radio enlazados por tangencia. Su clave es localizar bien los centros y cortar cada arco exactamente sobre la recta que une los centros.

Diferencia importante: el óvalo construido con compás es una aproximación de la elipse. La elipse verdadera tiene curvatura continua y se traza por puntos o en software; el óvalo tiene cuatro arcos y por eso puede verse ligeramente «acinturado». En perspectiva, los círculos se ven como elipses, no como óvalos.

9.1 Óvalo dado el eje mayor

1. Traza el eje mayor AB y divídelo en tres partes iguales: puntos O1 y O2.
2. Con centro en O1 y radio O1A, traza una circunferencia; repite en O2 con el mismo radio. Se cortan en O3 (arriba) y O4 (abajo).
3. Une O3 y O4 con O1 y O2, y prolonga esas rectas: ahí están los puntos de tangencia.
4. Con centro en O3 y radio hasta los puntos de tangencia inferiores, traza el arco inferior; con centro en O4, el superior.

9.2 Óvalo dado el eje menor

1. Traza el eje menor CD y su mediatriz; el centro es O.
2. Con centro en O y radio OC, traza una circunferencia que corte la mediatriz en E y F.
3. Traza las rectas C–E, C–F, D–E y D–F, y prolóngalas.
4. Con centro en C y radio CD, traza el arco entre las prolongaciones de C–E y C–F. Repite desde D.
5. Con centros en E y F, cierra los extremos con arcos pequeños entre los puntos de tangencia.

9.3 Óvalo dados ambos ejes

1. Traza los ejes perpendiculares AB (mayor) y CD (menor), cruzados en O.
2. Une A con C.
3. Con centro en O y radio OA, traza un arco que corte la prolongación de OC en E.
4. Con centro en C y radio CE, traza un arco que corte AC en F.
5. Traza la mediatriz de AF. Corta a AB en O1 y a la prolongación de CD en O3.
6. Obtén O2 y O4 por simetría respecto a O.
7. Traza arcos: con O1 y O2 los extremos pequeños; con O3 y O4 los arcos grandes, cada uno hasta las rectas que unen centros.

Este es el más útil en diseño porque se ajusta a medidas exactas de un formato (por ejemplo, un sello de 8 × 5 cm).

9.4 Ovoide dado el eje menor

El ovoide tiene forma de huevo: un extremo redondo y otro más agudo, con un solo eje de simetría.

1. Traza una circunferencia de diámetro AB (eje menor) y centro O; traza el diámetro perpendicular CD.
2. Traza las rectas A–D y B–D y prolóngalas más allá de D.
3. Con centro en A y radio AB, traza un arco desde B hasta la prolongación de A–D: punto E.
4. Con centro en B y radio BA, traza un arco desde A hasta la prolongación de B–D: punto F.
5. Con centro en D y radio DE, traza el arco pequeño de E a F.
6. La semicircunferencia del lado de C completa la figura.

9.5 Espiral de dos centros

1. Marca dos puntos A y B separados una distancia pequeña (por ejemplo, 5 mm) sobre una recta.
2. Con centro en A y radio AB, traza una semicircunferencia hacia arriba.
3. Con centro en B, continúa con una semicircunferencia hacia abajo desde donde terminó la anterior.
4. Alterna centros A y B; cada arco empieza donde acabó el previo. La espiral se abre a ritmo constante.

Con tres, cuatro o más centros (los vértices de un triángulo o un cuadrado pequeño) se obtienen espirales más suaves.

9.6 Espiral áurea (de Fibonacci)

1. Construye un rectángulo áureo (6.5).
2. Divídelo en un cuadrado y un rectángulo áureo menor; repite la división hacia adentro, girando siempre en el mismo sentido.
3. En cada cuadrado, traza un cuarto de circunferencia con centro en la esquina que toca al siguiente cuadrado y radio igual a su lado.
4. Los arcos encadenados forman la espiral.

Versión por números: cuadrados de 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 y 21 unidades, acomodados en espiral. Es una herramienta de composición y de análisis de marcas, aunque conviene enseñarla con sentido crítico: muchas «marcas áureas» que circulan en internet son superposiciones forzadas a posteriori.

9.7 Espiral de Arquímedes

Sus vueltas están separadas siempre por la misma distancia (como un disco de vinil).

1. Traza una circunferencia y divídela en 12 sectores iguales.
2. Divide un radio en 12 partes iguales y traza circunferencias concéntricas por cada división.
3. Marca el punto donde el radio 1 corta la circunferencia 1, el radio 2 corta la circunferencia 2, y así sucesivamente.
4. Une los puntos a mano alzada o con plantilla de curvas.

10. Del plano al volumen: los cuatro sólidos básicos

Cada figura plana tiene su sólido: el cuadrado genera el cubo, el rectángulo que gira genera el cilindro, el triángulo que gira genera el cono y el círculo que gira genera la esfera. Todo objeto —un empaque, una botella, una cabeza, un auto— se puede descomponer en combinaciones de estos cuatro. Aprender a encajarlos es lo que permite dibujar cualquier cosa de manera convincente.

10.1 Sistemas de representación

Sistema	Cómo funciona	Uso en diseño
Isométrico	Tres ejes a 120° entre sí (30° respecto a la horizontal); medidas reales en los tres ejes	Infografía, íconos 3D, explicación de producto, planos de stands
Caballera	Frente en verdadera magnitud; profundidad a 45° y reducida a 0.5	Esquemas rápidos, dibujo técnico escolar
Perspectiva cónica de un punto	Las líneas de profundidad convergen a un punto de fuga en el horizonte	Interiores, pasillos, composiciones frontales
Perspectiva cónica de dos puntos	Verticales paralelas; el resto converge a dos puntos de fuga	Empaques, objetos vistos desde una esquina, arquitectura

En axonometría (isométrico, caballera) las paralelas siguen paralelas y no hay deformación por distancia. En perspectiva cónica los objetos se achican al alejarse; es como ve el ojo.

10.2 Cubo isométrico

1. Traza una vertical (arista frontal) con la medida del lado.
2. Desde sus dos extremos, con el cartabón, traza líneas a 30° hacia la izquierda y hacia la derecha.
3. Lleva la medida del lado sobre esas líneas.
4. Levanta verticales en los extremos y cierra la cara superior con paralelas a 30°.

Todas las aristas miden lo mismo. El contorno exterior del cubo isométrico es un hexágono regular: otra conexión directa con la sección 8.

10.3 Cubo en perspectiva de dos puntos

1. Traza la línea de horizonte y sitúa sobre ella dos puntos de fuga (PF1 y PF2) bien separados, idealmente fuera de la zona del dibujo.
2. Traza la arista vertical más cercana.
3. Une sus dos extremos con PF1 y con PF2.
4. Decide a ojo la profundidad de cada cara y levanta las dos aristas verticales laterales.
5. Une los extremos superiores de esas aristas con el punto de fuga contrario; su cruce es la esquina trasera.

Si el cubo queda por debajo del horizonte se ve su cara superior; por encima, su cara inferior; cruzado por el horizonte, ninguna de las dos.

10.4 Cilindro

1. Dibuja una caja (prisma) en la perspectiva elegida con la base cuadrada.
2. En la cara superior e inferior, traza las diagonales y las medianas para encontrar el centro y los puntos medios de los lados.
3. Inscribe una elipse tangente a los cuatro puntos medios de cada cara (la elipse del fondo se ve más abierta que la de arriba si están por debajo del horizonte).
4. Une las dos elipses con dos verticales tangentes a sus extremos.

Error típico: dibujar la base del cilindro con esquinas o como una línea recta. La base visible siempre es una elipse completa, curva en sus extremos.

10.5 Cono

1. Construye la elipse de la base como en el cilindro.
2. Desde el centro de la base, levanta el eje hasta la altura deseada: el vértice.
3. Traza dos rectas del vértice tangentes a los extremos de la elipse (no a sus puntos más laterales exactos, sino donde la recta la roza).

10.6 Esfera

Una esfera, vista desde cualquier lado, es siempre un círculo. Lo que le da volumen es el tratamiento tonal y las líneas de contorno interno:

1. Traza el círculo con compás o a mano alzada.
2. Añade un «ecuador» y un «meridiano» en forma de elipses para indicar su orientación.
3. Define la fuente de luz y aplica las zonas tonales: luz, medio tono, sombra propia, luz reflejada y sombra proyectada.

10.7 Encaje a mano alzada

Encajar es construir sin instrumentos, con líneas ligeras que después se corrigen. Es la habilidad que más usa el diseñador en bocetos.

• Toma el lápiz largo, lejos de la punta, y traza desde el hombro y el codo, no desde la muñeca.
• Ve de lo general a lo particular: primero la caja que envuelve todo el objeto, luego las divisiones grandes, al final el detalle.
• Dibuja a través del objeto: traza también las aristas ocultas. Si la parte trasera no cierra, la delantera está mal.
• Mide con el lápiz: con el brazo extendido, compara proporciones («el alto cabe 2.5 veces en el ancho»).
• Elipses fluidas: trázalas de un solo gesto, girando dos o tres veces sobre la misma órbita antes de tocar el papel.
• Usa líneas fantasma: antes de trazar una recta entre dos puntos, simula el movimiento en el aire varias veces.

10.8 Descomposición de objetos

Ejercicio clave: antes de dibujar cualquier objeto, identificar qué sólidos lo forman.

Objeto	Sólidos básicos
Botella de refresco	Cilindro + cono truncado + cilindro pequeño (rosca)
Taza	Cilindro + toroide (asa)
Caja de cereal	Prisma rectangular
Lámpara de escritorio	Cono (pantalla) + cilindros (brazo) + cilindro bajo (base)
Cabeza humana	Esfera (cráneo) + cuña o caja (mandíbula)
Tubo de pasta dental	Cilindro que se aplana hacia un extremo + cilindro (tapa)

11. Aplicación en diseño gráfico

La construcción geométrica no es un ejercicio escolar aislado: es la herramienta con la que se resuelven y se justifican decisiones profesionales. Cuando un cliente pregunta «¿por qué así?», la geometría es la respuesta.

11.1 Construcción de logotipos y símbolos

• Retícula de construcción: los manuales de identidad incluyen la lámina del símbolo sobre su malla, con los círculos, ángulos y módulos que lo generan. Garantiza que cualquier persona pueda reproducirlo sin deformarlo.
• Radios compartidos: usar pocos radios distintos (por ejemplo, tres tamaños de círculo en proporción constante) hace que el símbolo se perciba unificado.
• Área de protección: el espacio mínimo libre alrededor de la marca se define con un módulo tomado de la propia figura (la altura de una letra, el diámetro de un elemento).
• Ejemplos de referencia: los anillos olímpicos (cinco circunferencias enlazadas), el símbolo de Mitsubishi (tres rombos alrededor de un centro) y, en México, la identidad de los Juegos Olímpicos de 1968 de Lance Wyman, construida con líneas paralelas concéntricas.

11.2 Correcciones ópticas: cuando la geometría exacta engaña

El ojo no mide, percibe. Por eso, después de construir, el diseñador corrige:

Fenómeno	Qué se ve	Corrección
Círculo y cuadrado de igual altura	El círculo se ve más pequeño	Hacer el círculo ligeramente mayor (rebase u overshoot)
Triángulo junto a un cuadrado	El triángulo se ve aún más pequeño	Rebasar el vértice por arriba de la línea base o de altura
Centro geométrico de un formato	Los elementos se ven «caídos»	Colocar el centro óptico ligeramente arriba del geométrico
Líneas horizontales y verticales del mismo grosor	Las horizontales se ven más gruesas	Adelgazar ligeramente las horizontales
Triángulo centrado en un círculo	Se ve desplazado	Centrar por baricentro, no por su caja

Esto es lo que hacen las tipografías: las letras redondas (O, C, S) sobresalen un poco de la línea base y la altura de las planas (H, E) para verse del mismo tamaño.

11.3 Pictogramas e iconografía

Los sistemas de pictogramas se dibujan sobre una retícula común (por ejemplo, un cuadrado de 24 × 24 unidades con margen de 2) usando un repertorio limitado de formas: círculos, rectángulos de esquinas redondeadas y ángulos de 45° y 90°. Los pictogramas de Otl Aicher para Munich 1972 son el ejemplo clásico de este método. En interfaces actuales se usan las mismas reglas: formas clave (círculo, cuadrado, rectángulo vertical y horizontal) de distinto tamaño para que todas tengan el mismo peso visual.

11.4 Retículas editoriales y de composición

• La división de Tales (4.7) permite partir una página en columnas y módulos exactos.
• El canon de Villard de Honnecourt y el diagrama de Van de Graaf usan diagonales del formato para fijar márgenes y caja tipográfica, sin medir en milímetros.
• Los rectángulos √2 y áureo (6.5, 6.6) sirven como formatos y como trazados reguladores para colocar elementos en un cartel.
• La regla de tercios es una simplificación práctica de estas divisiones.

11.5 Tipografía geométrica

Familias como Futura (Paul Renner, 1927) o las rotulaciones modernas de marcas se construyen con círculo, cuadrado y triángulo. Ejercicio típico: diseñar un alfabeto de mayúsculas usando solo esas tres figuras sobre una retícula, y luego aplicarle correcciones ópticas.

11.6 Empaque

El troquel de una caja es geometría pura: rectángulos, perpendiculares, paralelas y ángulos exactos para pestañas. Una perpendicular mal levantada se convierte en una caja que no cierra. Los conocimientos de 4.4, 6.4 y 10.2 son los mismos que se usan para desplegar y comprobar un empaque.

11.7 De la lámina al vector

Construcción manual	Equivalente en software
Compás con radio fijo	Elipse con Shift + valores numéricos
Mediatriz y punto medio	Alinear al centro, guías inteligentes
Polígono inscrito	Herramienta Polígono / Estrella
Enlace de rectas con arco	Esquinas redondeadas, esquinas dinámicas
Tangencias	Buscatrazos (Pathfinder), formas booleanas
Trazados reguladores	Guías y retículas personalizadas

Recomendación para el aula: que el estudiante construya primero a mano, luego reproduzca en vector, y compare. La comparación revela errores de método que el software esconde.

12. Ejercicios, errores comunes y evaluación

12.1 Secuencia de láminas sugerida

Formato: carta o doble carta, margen de 1 cm, cuadro de datos en la esquina inferior derecha (nombre, lámina, fecha, materia). Líneas auxiliares visibles en todas.

Lámina	Contenido	Secciones
1	Ejercicios de trazo libre: 20 rectas paralelas, 20 perpendiculares, 10 circunferencias a mano alzada	2
2	Mediatriz, perpendiculares (3 casos), paralela, bisectriz, Tales en 7 partes	4
3	Cinco triángulos con datos distintos + rectas notables de un escaleno	5
4	Cuadrado por lado y por diagonal, rectángulo áureo, rectángulo √2	6
5	Enlaces: esquina redondeada, recta con circunferencia, dos circunferencias	7
6	Polígonos inscritos: triángulo, cuadrado, pentágono, hexágono, octógono y estrella de cinco puntas	8
7	Óvalo (3 métodos), ovoide, espiral áurea	9
8	Cubo, cilindro, cono y esfera en isométrico y en perspectiva de dos puntos	10
9	Descomposición en sólidos de tres objetos reales a mano alzada	10
10	Proyecto integrador: símbolo o pictograma construido sobre retícula, con lámina de construcción y versión final entintada	11

12.2 Proyecto integrador (detalle)

El estudiante diseña un símbolo para una marca ficticia o un set de 6 pictogramas para un espacio real (biblioteca, cafetería, gimnasio de la universidad). Entrega:

1. Tres bocetos a mano alzada.
2. Lámina de construcción con todas las líneas auxiliares, radios y centros señalados.
3. Versión final entintada en positivo y negativo.
4. Reproducción en vector.
5. Un párrafo que justifique las figuras y proporciones elegidas.

12.3 Errores comunes y cómo evitarlos

Error	Causa	Solución
Figuras que no cierran	Compás que pierde abertura; acumulación de errores al transportar medidas	Compás de tornillo; verificar con la medida de cierre y repartir la diferencia
Uniones con escalón en enlaces	No se localizó el punto de tangencia	Marcar siempre los puntos de tangencia antes de trazar el arco
Línea auxiliar igual de fuerte que la final	Un solo lápiz para todo	Respetar la jerarquía 2H / HB / tinta
Borrar las auxiliares	Creer que «ensucian» la lámina	Son la evidencia del procedimiento; se conservan
Perpendiculares «a ojo» con la escuadra mal apoyada	Escuadra que se mueve	Fijar la escuadra de apoyo; comprobar con el método 3-4-5
Mina del compás más larga que la punta	Mal ajuste	Ajustar la mina 1 mm más corta y afilarla en bisel
Elipses con punta o planas en los extremos	Trazo con la muñeca, en varios segmentos	Trazar desde el hombro, en un solo gesto continuo
Perspectiva con puntos de fuga muy cercanos	Formato pequeño	Poner los puntos de fuga fuera del dibujo, en hojas auxiliares
Confundir óvalo con elipse	Falta de concepto	En perspectiva siempre elipse; óvalo solo en construcción plana
Papel ondulado o perforado	Exceso de presión con la punta seca	Poner una cinta pequeña como protector en el centro de giro

12.4 Rúbrica de evaluación por lámina

Criterio	Peso	Excelente (10)	Suficiente (8)	Insuficiente (6 o menos)
Exactitud geométrica	35%	Figuras cierran; medidas y ángulos sin desviación visible	Desviaciones menores de 1 mm	Figuras abiertas o deformadas
Procedimiento	25%	Todas las auxiliares visibles y correctas	Faltan algunas auxiliares	Construcción a ojo o sin evidencia
Calidad de línea	20%	Jerarquía clara, trazo uniforme, uniones limpias	Jerarquía parcial	Un solo valor de línea, trazo tembloroso
Limpieza y presentación	10%	Sin manchas, margen y cuadro de datos completos	Manchas leves	Hoja sucia, arrugada o sin datos
Puntualidad	10%	Entrega en fecha	Un día de retraso	Más de un día de retraso

12.5 Preguntas de repaso

1. ¿Por qué el lado del hexágono regular es igual al radio de su circunferencia?
2. ¿Qué diferencia hay entre circuncentro e incentro, y para qué sirve cada uno?
3. ¿Qué propiedad hace único al rectángulo √2 y dónde se aplica?
4. Explica las dos reglas para localizar un punto de tangencia.
5. ¿Por qué un círculo debe dibujarse un poco más grande que un cuadrado para verse del mismo tamaño?
6. ¿En qué se diferencia un óvalo de una elipse?
7. Descompone en sólidos básicos un objeto que tengas en tu mesa.

Bibliografía recomendada

• Wong, Wucius. Fundamentos del diseño bi- y tri-dimensional. Gustavo Gili.
• Elam, Kimberly. La geometría del diseño: estudios sobre la proporción y la composición. Gustavo Gili.
• Ching, Francis D. K. Dibujo y proyecto. Gustavo Gili.
• Edwards, Betty. Aprender a dibujar con el lado derecho del cerebro. Urano.
• Robertson, Scott y Bertling, Thomas. How to Draw. Design Studio Press.
• Frutiger, Adrian. Signos, símbolos, marcas, señales. Gustavo Gili.